Étude théorique de l’asservissement

Nous présenterons ici la procédure de contrôle d’un moteur à courant continu, son identification, et l’implémentation d’un asservissement en vitesse avec correcteur PID.

1. Fonction de transfert

Chaque moteur est descriptible par l’intermédiaire d’une fonction de transfert. Celle-ci prend en compte tous les composants électroniques, mécaniques et magnétiques du moteur et permet, grâce à ladite fonction, de décrire de manière mathématique le comportement de chaque moteur.
Sur le schéma dessous est représenté le modèle mathématique d’un moteur à courant continu, avec les paramètres électriques, mécaniques et magnétiques, tous différents d’un moteur à un autre. L’identification de ces éléments donne généralement des résultats différents entre la théorie (moteur à vide) et la pratique (monté sur des roues au sol). Nous ne décrirons pas la partie identification du moteur dans cette note. Nous pouvons observer sur le schéma ci-dessous la tension fournie, représentant le signal en entrée, et la vitesse angulaire en signal de sortie.

Ci-dessus est représenté la réponse indicielle d'un côté du robot (2 moteurs sur 1 courroie entraînant les roues). Nous apercevons sur celui-ci 3 paramètre nous permettant d'identifier les moteurs: le retard, la constante de temps, et la réglabilité. La réglabilité nous permet de savoir, selon sa valeur, de quelle manière en déduire les coefficients PID et lesquels de ces coefficients peuvent effectivement être utilisé. Dans notre cas, la réglabilité est de l'ordre de 0.4, ce qui nous indique que le système peut être asservi par un régulateur PID, comme indiqué sur le tableau ci-dessous.

Ainsi, nous pouvons en déduire les coefficients PID correspondant.

𝐾𝑝 = 0,5∗(1+0,5∗𝑟)/(𝐺∗𝑟) ≈ 1,5
𝐾𝑖 = 𝑡∗(1+0,5∗𝑟) ≈ 0,33
𝐾𝑑 = 𝑡∗0,5∗𝑟/(0,5∗𝑟+1) ≈ 0,05

Toutefois cette méthode de calcul des coefficients n'est pas la plus fiable. Le plus efficace resterait d'utiliser les calculs de dépassement, de temps de montée etc.
Le problème vient du fait que notre système est du second ordre avec un coefficient d'amortissement supérieur à 1 (aucun dépassement), ce qui rend l'identification complexe.
La méthode utilisé ici a été la plus simple vu notre situation. Elle n'a cependant pas pu être testé, car l'intégrité de notre système n'était pas garanti, nous avions encore quelques erreurs, nous n'aurions donc pas pu déterminer d'ou viendrait l'erreur si les tests ne s'avéraient pas concluants.

Une note d'application sur la théorie de l'asservissement est présente dans la partie Documents de la Forge: Note d'application sur l'asservissement

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